Dynmiac bicycle Model

(Dynamic) Bicycle Model of Lateral Vehicle Motion 이란

Bicycle Model은 kinematic model과 다르게 차량에 적용되는 힘을 고려하여 차량의 움직임을 설명하기 위한 모델이다. Bicycle Model을 설명하기 위해서 많은 가정들을 사용하는데, 대표적으로 아래의 가정이 중요하다.

Assumptions

• 차량은 일정한 속도를 갖는다.
• Roll, Pitch의 운동은 무시한다.
• 타이어는 작은 슬립 각을 갖는다.
• 전륜의 좌/우측, 후륜의 좌/우측의 wheel angle은 같다.
• 차량은 planar motion을 갖는다.

차량의 기하학적 구조

점 $\mathbf{O}$ 차량의 선회 반경 중심을 의미한다.

Fig 1. Dynmaic bicycle model

1. Global 좌표계에서의 운동방정식

글로벌 좌표계에서 차량의 운동은 다음과 같이 표현됩니다.

\[\begin{aligned} & \dot{x} = v_x \cos\psi - v_y \sin\psi \\ & \dot{y} = v_x \sin\psi + v_y \cos\psi \\ & \dot{\psi} = r \\ \end{aligned} \tag {1.1}\]

where:

• $\psi$: yaw angle [rad]
• $r$: yaw rate [rad/s]
• $(x, y)$: 차량 CG의 글로벌 위치 [m]
• $(v_x, v_y)$: 차량좌표계에서의 종방향 및 횡방향 속도 [m/s]

2. Bicycle Model

Bicycle model의 운동방정식은 아래와 같이 유도할 수 있다.

\[\begin{aligned} m (\dot{v}_y + v_x r) &= F_{y_f} + F_{y_r} \\ I_z \dot{r} &= l_f F_{y_f} - l_r F_{y_r} \\ \end{aligned} \tag {2.1}\]

where:

• $m$: vehicle mass [kg]
• $I_z$: yaw moment of inertia [$\mathrm{kg \cdot m^2}$]
• $l_f$: Distance from the center of gravity (CG) to the front axle [m]
• $l_r$: Distance from the center of gravity (CG) to the rear axle [m]
• $F_{y_f}$: Lateral force on the front axle [m]
• $F_{y_r}$: Lateral force on the rear axle [m]

3. Lateral Tire Force

Lateral tire force를 선형이라고 가정하면, 식 (3.1), (3.2)처럼 표현할 수 있다.

\(F_{y_f} = C_{\alpha_f} \alpha_f \tag{3.1}\) \(F_{y_r} = C_{\alpha_r} \alpha_r \tag{3.2}\)

where:

• $C_{\alpha_f}$: front cornering stiffness [Nm/rad]
• $C_{\alpha_r}$: rear cornering stiffness [Nm/rad]
• $\alpha_f$: front slip angle [rad]
• $\alpha_r$: rear slip angle [rad]
• $\delta_f$: front steering angle [rad]

이 때, 전륜 및 후륜의 슬립 각은 식 (3.3), (3.4)와 같다.

\[\begin{align} \alpha_f &= \delta_f - \tan^{-1}\left(\frac{v_y + l_f r}{v_x}\right) \tag{3.3} \\ \alpha_r &= -\tan^{-1}\left(\frac{v_y - l_r r}{v_x}\right) \tag{3.4} \end{align}\]

4. 상태 공간 표현

Bicycle model은 state-space 으로 표현할 수 있다.

\[\mathbf{\dot{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u} \tag{4.1}\]

where:

\[\begin{align} \mathbf{x} &= [v_y,\, r]^\top \tag{4.2} \\ \mathbf{u} &= [\delta_f] \tag{4.3} \\ A &= \left[ \begin{array}{cc} \displaystyle -\frac{C_{\alpha_f} + C_{\alpha_r}}{m v_x} & \displaystyle -1 + \frac{l_f C_{\alpha_f} - l_r C_{\alpha_r}}{m v_x^2} \\ \displaystyle \frac{l_f C_{\alpha_f} - l_r C_{\alpha_r}}{I_z} & \displaystyle -\frac{l_f^2 C_{\alpha_f} + l_r^2 C_{\alpha_r}}{I_z v_x} \end{array} \right] \tag{4.4} \\ B &= \left[ \begin{array}{c} \displaystyle \frac{C_{\alpha_f}}{m v_x} \\ \displaystyle \frac{l_f C_{\alpha_f}}{I_z} \end{array} \right] \tag{4.5} \end{align}\]