Kinematic Model
Kinematic Model of Lateral Vehicle Motion 이란
Kinematic Model은 dynamic model과 다르게 힘을 고려하지 않고, 기구학(geometric) 관계를 기반으로 차량의 움직임을 설명하기 위한 모델이다. Kenematic Model을 설명하기 위해서 많은 가정들을 사용하는데, 대표적으로 아래의 가정이 중요하다.
Assumptions
- 차량의 속도는 작다.
- 차량의 wheel slip 은 없다.
- 전륜의 좌/우측, 후륜의 좌/우측의 wheel angle은 같다.
- 차량은 planar motion을 갖는다.
차량의 기하학적 구조
점 $\mathbf{O}$ 차량의 선회 반경 중심을 의미한다.
OCA에서 sin 법칙을 적용하면 식 (1.1)과 같다.
\[\frac{\sin \left(\delta_f-\beta\right)}{\ell_f}=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\delta_f\right)}{R} \tag{1.1}\]OCB에서 sin 법칙을 적용하면 식 (1.2)과 같다.
\[\frac{\sin \left(\beta-\delta_r\right)}{\ell_r}=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\delta_r\right)}{R} \tag{1.2}\]식 (1.1)로 부터 아래 식 (1.3)을 도출할 수 있다.
\[\frac{\sin \left(\delta_f\right) \cos (\beta)-\sin (\beta) \cos \left(\delta_f\right)}{\ell_f}=\frac{\cos \left(\delta_f\right)}{R} \tag{1.3}\]식 (1.2)로 부터 아래 식 (1.4)를 도출할 수 있다.
\[\frac{\cos \left(\delta_r\right) \sin (\beta)-\cos (\beta) \sin \left(\delta_r\right)}{\ell_r}=\frac{\cos \left(\delta_r\right)}{R} \tag{1.4}\]식 (1.3) 양변에 $\frac{\ell_f}{\cos \left(\delta_f\right)}$ 를 곱하면, 식 (1.5)를 얻을 수 있다.
\[\tan \left(\delta_f\right) \cos (\beta)-\sin (\beta)=\frac{\ell_f}{R} \tag{1.5}\]식 (1.4) 양변에 $\frac{\ell_f}{\cos \left(\delta_f\right)}$ 를 곱하면, 식 (1.6)를 얻을 수 있다.
\[\sin (\beta)-\tan \left(\delta_r\right) \cos (\beta)=\frac{\ell_r}{R} \tag{1.6}\]식 (1.5) 와 식 (1.6)을 더하면 식 (1.7)을 도출 할 수 있다.
\[\left\{\tan \left(\delta_f\right)-\tan \left(\delta_r\right)\right\} \cos (\beta)=\frac{\ell_f+\ell_r}{R} \tag{1.7}\]Kenematic model에서는 heading angle(yaw angle) 변화율인 yaw rate $\dot{\psi}$ 을 식 (1.8)처럼 나타낼 수 있다.
\[\dot{\psi}=\frac{V}{R} \tag{1.8}\]식 (1.8)을 식 (1.9)에 대입하여 $R$ 을 제거하면, 식 (1.9)처럼 표현할 수 있다.
\[\dot{\psi}=\frac{V \cos (\beta)}{\ell_f+\ell_r}\left(\tan \left(\delta_f\right)-\tan \left(\delta_r\right)\right) \tag{1.9}\]따라서, kinematic model의 운동방정식은 식 (1.10)처럼 표현할 수 있다.
\[\begin{aligned} & \dot{X}=V \cos (\psi+\beta) \\ & \dot{Y}=V \sin (\psi+\beta) \\ & \dot{\psi}=\frac{V \cos (\beta)}{\ell_f+\ell_r}\left(\tan \left(\delta_f\right)-\tan \left(\delta_r\right)\right) \end{aligned} \tag {1.10}\]위 식 (1.10)에서의 input은 $\delta_f, \delta_r$ and $V$ 이다.
$V$은 time varying function으로 가정할 수도 있으며, 다른 종방향 차량모델로부터 계산하여 값을 얻을 수 있다.
Side slip angle을 유도해 보자. 식 (1.5)에 $\ell_r$ 를 곱하면, 식 (1.11) 처럼 표현된다.
\[(\tan \left(\delta_f\right) \cos (\beta)-\sin (\beta))\ell_r = \frac{\ell_f}{R}\ell_r \tag{1.11}\]식 (1.6)에 $\ell_f$ 를 곱하면, 식 (1.12) 처럼 표현된다.
\[(\sin (\beta)-\tan \left(\delta_r\right) \cos (\beta))\ell_f = \frac{\ell_r}{R}\ell_f \tag{1.12}\]Side slip angle을 유도하기 위해 식 (1.11)에서 식 (1.12)를 빼면, 식 (1.13)을 얻을 수 있다.
\[(\tan \left(\delta_f\right) \cos (\beta)-\sin (\beta))\ell_r = (\sin (\beta)-\tan \left(\delta_r\right) \cos (\beta))\ell_f \tag{1.13}\]식 (1.13)를 정리하면, $\beta$는 식 (1.14) 처럼 $\beta$에 대해 표현할 수 있다.
\[\beta=\tan ^{-1}\left(\frac{\ell_f \tan \delta_r+\ell_r \tan \delta_f}{\ell_f+\ell_r}\right) \tag{1.14}\]- $L$: wheel base [m]
- $\delta_f$: steering angle for the front wheel [rad]
- $\delta_r$: steering angle for the rear wheel [rad]
- $\beta$: side slip angle [rad]
- $V$: vehicle speed [m/s]
- $\psi$: heading angle or yaw[rad]
- $\gamma$: course angle [rad]
- $(X, Y)$: vehicle global position [m]