Modeling Basic - 3 (damped pendulum with external force)

1. Introduction

Damped pendulum model 에서는 감쇠가 있는 pendulum에 대해서 운동방정식을 도출하고 해를 계산해 봤다. 이번 페이지에서는 damped pendulum with external force에 대해서 운동방정식을 도출하고, 해를 구해보자.

2. Modeling

Damped pendulum에 작용하는 힘은 Fig 1. 처럼 나타낼 수 있다.

Fig 1. Forced damped pendulum model

이 때, 진자의 길이는 $l[\mathrm{m}]$, 질량은 $m[\mathrm{kg}]$, 중력 가속도는 $g[\mathrm{m/s^2}]$, 수직선과 진자가 이루는 각도는 $\theta[\mathrm{rad}]$, 저항력은 $F_d[\mathrm{N}]$, 외력은 $F[\mathrm{N}]$이다.

2.1 Derivation of the Differential Equation

미분방정식을 구하기 위해서는 뉴턴의 제 2법칙 $F=ma$을 적용해 보면, 식 (2.1)을 만족해야 한다.

\[ml\ddot{\theta} = -mg\sin{\theta} - F_d + F(t)\tag{2.1}\]

$F_d$는 속도에 따라 변하므로 식 (2.2)처럼 나타낼 수 있다.

\[F_d = b\dot{\theta} \tag{2.2}\]

여기에서 $b[\mathrm{Ns/m}]$는 damping coefficient를 의미한다. Damping coefficient는 공기저항, 마찰 등을 의미한다.

식을 정리하기 위해 식 (2.1)의 양변을 $ml$로 나누고 식 (2.2)를 대입하면, 식 (2.3) 과 같이 표현할 수 있다.

\[\ddot{\theta} + \frac{b}{ml}\dot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = \frac{F(t)}{ml} \tag{2.3}\]

2.2 Linearization of the pendulum model

각도가 작을 때 ($\theta \approx 0$), Taylor Expansion를 이용하면 식 (2.4)과 같이 나타낼 수 있다: 기 \(\sin\theta \approx \theta \tag{2.4}\)

따라서, 식 (2.5)과 같이 선형 미분방정식 형태로 나타낼 수 있다.

\[\ddot{\theta} + \frac{b}{ml}\dot{\theta} + \frac{g}{l} \theta = \frac{F(t)}{ml} \tag{2.5}\]

3. Solution of the Ordinary Differential Equation

위에서 도출한 선형 미분방정식 식 (3.1)의 해를 구해보자. 이 방정식은 감쇠와 외력이 포함된 선형 2차 미분방정식이다.

\[\ddot{\theta} + \frac{b}{ml} \dot{\theta} + \frac{g}{l} \theta = \frac{F(t)}{ml} \tag{3.1}\]

외력이 없는 경우($F(t) = 0$)의 해 $\theta_h(t)$는 homogeneous solution 라고 한다. 외력이 존재하는 경우의 해 $\theta_p(t)$는 particular solution 라고 한다. 식 (3.1)의 일반해 $\theta(t)$는 general solution 이라고 한다. 식 (3.2)와 같이 general solution은 homogeneous soultion 과 particular solution의 합으로 이루어져 있다.

\[\theta(t) = \theta_h(t) + \theta_p(t) \tag{3.2}\]

4. Example

이번 절에서는 식 (3.1)의 해를 구하는 과정을 살펴보자. 변수로 식을 전개하는 것 보다, 이해가 쉽게 각각의 변수를 상수로 고정하여 해를 구해보자.

4.1) Forced Periodic Vibrations

Problem)

Damped pendulum의 각 변수를 $m=1[\mathrm{kg}]$, $l=7.8480[\mathrm{m}]$, $b=7.8480[\mathrm{Ns/m}]$, $F_0 = 23.5440[\mathrm{N}]$ 라고 할 때, 식 (3.1)은 식 (4.1) 과 같이 표현된다.

\[\ddot{\theta} + \dot{\theta} + \frac{5}{4}\theta = 3\cos t \tag{4.1}\]

초기값은 식 (4.2)와 같을 때, 식 (4.1)의 해를 구하라. \(\theta(0) = 2, \quad \dot{\theta}(0) = 3 \tag{4.2}\)

각 변수들의 값이 지저분하지만, 이렇게 선정한 이유는 reference를 참고하기 위해서다. (p.159, Forced Periodic Vibration, Example 1)
Reference: Elementary differential equations and boundary value problems 11th edition, WILLIAM E. BOYCE, RICHARD C. DIPRIMA, DOUGLAS B. MEADE

Solution)

General solution을 구하기 위해서는 homogeneous solution과 particular solution을 찾아야 한다. 식 (4.1)의 특성방정식은 식 (4.3)과 같다을 \(r^2 + r + \frac{5}{4} = 0 \tag{4.3}\)

위 식으로부터, 특성방정식의 근은 식 (4.4)처럼 산출된다. \(r = \frac{1}{2} \pm i \tag{4.4}\)

따라서, homogeneous solution $\theta_h$는 식 (4.5)와 같다. \(\theta_h(t) = c_1 e^{-t/2} \cos t + c_2 e^{-t/2} \sin t \tag{4.5}\)

particular solution의 형태는 식 (4.6)과 같다. 식 (4.5)의 형태로 부터 알 수 있다. \(\theta_p(t) = A \cos t + B \sin t \tag{4.6}\)

식 (4.6)을 1번 미분, 2번 미분한 결과는 식 (4.7), (4.8)과 같다. \(\dot{\theta_p}(t) = -A \sin t + B \cos t \tag{4.7}\) \(\ddot{\theta_p}(t) = -A \cos t - B \sin t \tag{4.8}\)

위 식 (4.7), (4.8)을 식(4.1)에 대입하면 식 (4.9)와 같이 표현할 수 있다. \(\begin{align} \begin{split} 3 \cos t &= -A \cos t - B \sin t + \frac{1}{4} A \cos t + \frac{1}{4} B \sin t \\ &= \left( \frac{1}{4}+B \right) \cos t + \left(-A+\frac{1}{4} B\right) \sin t \end{split} \tag{4.9} \end{align}\)

따라서, 식 (4.10)을 만족해야 한다. \(\left(\frac{1}{4} A + B \right) = 3, \quad \left( -A + \frac{1}{4} B \right) = 0 \tag{4.10}\)

식 (4.10)을 계산하면, $A$, $B$의 값은 식 (4.11)과 같다. \(A = \frac{12}{17}, \quad B = \frac{48}{17} \tag{4.11}\)

따라서, particular solution is은 식 (4.12)와 같다. \(\theta_p(t) = \frac{12}{17} \cos t + \frac{48}{17} \sin t \tag{4.12}\)

general solution $\theta$는 식(4.13)과 같다. \(\theta(t) = \theta_h(t) + \theta_p(t) = \left( c_1 e^{-t/2} \cos t + c_2 e^{-t/2} \sin t\right) + \left(\frac{12}{17} \cos t + \frac{48}{17} \sin t \right)\tag{4.13}\)

$c_1$, $c_2$ 의 값을 게산하기 위해서는 초기 조건을 이용해야 한다. 초기 조건으로부터 식 (4.14)을 만족해야 한다. \(\theta(0) = c_1 + \frac{12}{17} = 2, \quad \dot{\theta}(0) = \frac{1}{2} c_1 + c_2 + \frac{48}{17} = 3 \tag{4.14}\)

$c_1$, $c_2$는 식 (4.15)와 같다. \(c_1 = \frac{22}{17}, \quad c_2 = \frac{14}{17} \tag{4.15}\)

따라서, general solution은 식 (4.16)과 같다. \(\begin{align} \begin{split} \theta(t) &= \theta_h(t) + \theta_p(t) \\ &= \left( \frac{22}{17} e^{-t/2} \cos t + \frac{14}{17} e^{-t/2} \sin t \right) + \left( \frac{12}{17} \cos t + \frac{48}{17} \sin t \right) \end{split} \tag{4.16} \end{align}\)