Modeling Basic - 1 (simple pendulum)
1. Introduction
단순히 미분방정식으로 표현된 방정식을 해석하는 것보다, 실제 시스템에 대해 모델링을 수행하고 식을 해석해 보면 큰 도움이 된다. 모델링을 공부하다 보면, Simple Pendulum을 쉽게 접할 수 있다. 본 페이지에서는 Simple Pendulum의 운동방정식과 해를 설명한다.
2. Modeling
Pendulum에 작용하는 힘은 Fig 1. 처럼나타낼 수 있다.
이 때, 진자의 길이는 $l[\mathrm{m}]$, 질량은 $m[\mathrm{kg}]$, 중력 가속도는 $g[\mathrm{m/s^2}]$, 수직선과 진자가 이루는 각도는 $\theta[\mathrm{rad}]$ 이다.
2.1 Derivation of the Differential Equation
미분방정식을 구하기 위해서는 뉴턴의 제 2법칙 $F=ma$을 적용해 보면, 식 (2.1)을 만족해야 한다.
\[ml\ddot{\theta} = -mg\sin{\theta} \tag{2.1}\]식을 정리하기 위해 식 (2.1)의 양변을 $ml$로 나누면, 식 (2.2) 과 같이 표현할 수 있다.
\[\ddot{\theta} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0 \tag{2.2}\]2.2 Linearization of the pendulum model
각도가 작을 때 ($\theta \approx 0$), Taylor Expression를 이용하면 식 (2.3)과 같이 나타낼 수 있다;.
\[\sin\theta \approx \theta \tag{2.3}\]따라서, 식 (2.4)과 같이 선형 미분방정식 형태로 나타낼 수 있다.
\[\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \theta = 0 \tag{2.4}\]식 (2.2), (2.4)를 보면 미분방정식에 질량은 포함되지 않는 것을 알 수 있다. 즉, $\theta$ 는 중력과, 줄의 길이에만 영향을 받는다. 또한, 감쇠가 없기 때문에 무한히 진동한다.
3. Solution of the Odinary Differential Equation
위에서 도출한 선형 미분방정식 식 (3.1)의 해를 구해보자.
\[\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \theta = 0 \tag{3.1}\]식 (3.1)은 2계 상미분방정식(odinary second-order differential equation) 의 표준 형태이며, 특성 방정식은 식 (3.3)과 같다.
\[r^2 + \frac{g}{l} = 0 \tag{3.2}\]특성 방정식의 해를 구하면, $r$은 식 (3.3)처럼 산출할 수 있다.
\[r = \pm i \sqrt{\frac{g}{l}} \tag{3.3}\]따라서, 식 (3.1)의 해는 식 (3.4)과 같다. $C_1$, $C_2$는 초기값을 통해 계산할 수 있다.
\[\theta(t) = C_1 \cos\left( \sqrt{\frac{g}{l}} t \right) + C_2 \sin\left( \sqrt{\frac{g}{l}} t \right) \tag{3.4}\]식 (3.4)를 식(3.5)와 같이 하나의 $\sin$ 파 형태로 나타낼 수 있다.
\[\theta(t) = A\cos\left( \omega t + \phi \right) \tag{3.5}\]이 때, 각각 $A$, $\omega$, $\phi$는 식 (3.6) ~ (3.8)과 같다.
\[\begin{align} A &= \sqrt{C_1^2 + C_2^2} \tag{3.6} \\ \phi &= \frac{C_1}{C_2} \tag{3.7} \\ \omega &= \sqrt{\frac{g}{L}} \tag{3.8} \end{align}\]주기는 식 (3.9) 처럼 도출할 수 있다.
\[T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \tag{3.9}\]4. Simulation result
아래 그림은 matlab을 이용하여 식 (3.1)을 시뮬레이션한 결과이다. $g=9.81[\mathrm{m/s^2}]$, $l=5[\mathrm{m}]$ 초기 값으로 $\theta = 1 [\mathrm{rad}]$, $\dot{\theta} = 0[\mathrm{rad/s}]$ 로 설정하였다. Pendulum의 시간에 대한 $\theta$, $\dot{\theta}$ 와 pendulum motion은 Fig 2.와 같다.
