Topology
Basis
벡터 공간을 선형 생성하는 linear independent(선형 독립)인 벡터들을 의미한다.
벡터 공간 $\mathbb{R}^n$ 의 벡터 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k$ 에 대해서
$c_1=c_2=\cdots=c_k=0$ 인 경우에만 식을 만족한다면, $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k$는 $\mathbb{R}^n$의 basis 이다.
Linear transformation
벡터를 선형변환 한다는 것은 1) 원점은 바뀌지 않고, 2) 직선은 유지한다는 의미이다.
아래 수식은 “기저 $i$를 ${1\choose 2}$로 변환하고, 기저$j$를 ${3\choose 0}$로 변환하면, ${x\choose y}$벡터는 어떻게 되는가?”을 의미한다.
다르게 표현하면 아래와 같다.
\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}\]Span
$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3, \cdots, \boldsymbol{a}_k$가 $n$차원 실수 집합 $\mathbb{R}^n$의 원소라면,
\[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3, \cdots, \boldsymbol{a}_k \in \mathbb{R}^n\]$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3, \cdots, \boldsymbol{a}_k$ 의 span은 존재할 수 있는 모든 선형 결합들의 집합을 의미한다.
\[\operatorname{span}\left[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k\right]=\left\{\sum_{i=1}^k \alpha_i \boldsymbol{a}_i\right\}\]Subspace
$\mathbb{R}^n$ 의 subset $V$ 가 “vector addition”과 “scalar multiplication”에 “closed” 되어 있다면, $V$ 는 $\mathbb{R}^n$ 의 subspace라 한다.
\[\left\{\begin{array}{l} \text { if } \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in V \Rightarrow \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \in V \\ \text { if } \boldsymbol{a} \in V \Rightarrow \alpha \boldsymbol{a} \in V \text { for } \forall \alpha \in \mathbb{R} \end{array}\right.\]만약 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in V$ 이면, 어떤 모든 $\alpha, \beta$ 에 대해 아래 수식이 성립한다. \(\alpha \boldsymbol{a}+\beta \boldsymbol{b} \in V\)
Bounded, Unbounded / Open, Closed
Closed set은 $\geqslant, \leqslant$에 의해, Open set 은 $>,<$에 의해 정의된다.
Unbounded는 무한한 영역을 갖는 경우, Bounded 는 유한한 영역을 갖는 경우를 의미한다.
- 식 (1) Set $D%$ 는 양쪽 변 모두 boundary point를 포함하지 않으므로 open 이다.
- 식 (1) Set $D$ 은 무한한 영역을 갖으므로 bounded 되어 있다.
\(\begin{align}
D=\left\{(x, y) ;-x^2+2 x<y<8-x^2\right\}
\end{align}\)
